Il lato divertente della fisica – Cut the rope

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Om Nom, simpatico mostriciattolo verde, se ne sta solo e affamato senza nulla da mettere sotto i denti. Ad un tratto, alza la testa e… ecco che scorge una caramella lucida e zuccherosa, appesa tramite corde a pochi centimetri dalla sua testa. Non potendo contare sulle sue cortissime zampe per raggiungerla, si affida ad ogni giocatore che voglia cimentarsi nel tentativo di mandargliela direttamente tra le fauci e renderlo così un mostriciattolo felice.

Nonostante ci siano una moltitudine di livelli e diversi modi in cui viene impedito alla caramella di giungere a destinazione, la nostra caramella si ritroverà la maggior parte delle volte a percorrere una
traiettoria ad arco a causa di una corda che la lega ad un punto della schermata: ci si trova quindi di fronte al moto di un pendolo.  Vediamo ora nel dettaglio cosa succede alla tanto desiderata caramella.

Al momento iniziale del moto, la corda di lunghezza l a cui è vincolata la caramella si trova inclinata di un angolo α rispetto alla verticale. Poiché la caramella è dotata di massa m, e quindi di peso P=m*g (freccia verde), essa tenderebbe a cadere verticalmente al suolo, ma la presenza della corda la obbliga a seguire un arco di circonferenza (tratteggio bianco).

A questo punto è necessario, come è avvenuto per la velocità in Angry Birds, scomporre il peso P in:

  • P(che chiameremo peso ‘’perpendicolare’’)(freccia rossa) = m*g*cos(α)
  • P// (peso ‘’parallelo’’) (freccia blu) = m*g*sin(α)

Ora, come si può notare dal disegno, il peso perpendicolare cerca di trascinare la caramella verso l’angolo basso a destra, ma a questo punto interviene una nuova forza (reazione vincolare R = -P)(freccia fucsia) che ne compensa l’azione:

P+R = P– P = 0

da cui segue che l’unica forza che muove la nostra caramella è il peso parallelo P//.

Prendiamo per convenzione un asse orizzontale che va da sinistra a destra, e chiamiamo d la distanza tra la caramella e l’asse verticale tracciato in precedenza. Sfruttando ancora una volta la trigonometria, il termine sin(α) si può riscrivere come sin(α)= d/l. Osservando poi che il peso parallelo ha direzione opposta rispetto all’asse orizzontale, si ha che la forza totale Ftot che regola il moto è:

Ftot = -P// = -m*g*d/l

Poiché la caramella non si ferma, con dispiacere del nostro amico Om Nom, resta da stabilire ogni quanto tempo questo simpatico mostriciattolo verde la vedrà penzolare sopra la propria testa.

Essendo che in generale F = m*a, rivediamo la formula precedente come:

m*a = -m*g*d/l

da cui

a = -g*d/l

Introducendo brevemente il concetto di moto armonico, tramite cui un punto ritorna nella propria posizione a intervalli regolari (periodo), chiamiamo ω2 = g/l  e definiamo pulsazione ω la grandezza

ω = (g/l)^(1/2)

e poiché per un moto armonico il periodo T è

T = 2π/ω

si ha che la caramella compirà un’oscillazione completa nel tempo

T = 2π*(l/g)^(1/2)

A questo punto, è solo questione di riflessi far arrivare la caramella all’affamato Om Nom o condannarlo al reset del livello!

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